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なぜ虚数が存在しているのか
「2乗してマイナスになる数」という本来存在しない数である虚数が、何の役に立っているのか。不思議な数である虚数について面白く紹介した一冊です。簡潔な文章、イラストに加えてコラムや４コマ漫画などのコンテンツに富んでおり、楽しく虚数の世界について学ぶことができます。
はじめに
虚数とは,「2乗するとマイナスになる数」です。中学校までに習うふつうの数では,プラス×プラスはプラスになり,マイナス×マイナスもプラスになります。つまり,0でない数を2乗する(2回かけあわせる)と,かならずプラスの数になります。したがって,ふつうの数の中には「2乗してマイナスになる数」などというものはみつかりません。いったいなぜ,ふつうの数とはことなる虚数という数を考える必要があったのでしょうか。
実は虚数は,科学の世界ではとても大きな役割をになっています。たとえば,ミクロな世界を物理学で解き明かそうとすると,虚数の計算が必要になります。さらには,私たちがくらす宇宙では,誕生時に「虚数時間」というものが流れていたという理論も提案されています。
本書では,とても不思議な数である虚数について“最強に”面白く紹介します。本書を読み終えるころには,虚数のありがたみが,きっと実感できることでしょう。虚数の世界をどうぞお楽しみください!
目次
イントロダクション
1 これが虚数だ!
2 答のない問題が,虚数の誕生をもたらした
3 「足して10,かけて40」を,面積で考えてみよう
コラム 面積をあらわす日本の単位
1.こうして虚数が誕生した!
1 数直線を埋めつくす「実数」の世界
2 4000年の歴史をもつ2次方程式
3 古代メソポタミア人は,2次方程式を解いていた
4 「2乗してマイナスになる数」がないと,答が出せない
5 虚数が最初に登場した本,「アルス・マグナ」
6 カルダノが,虚数を生みだした
7 「解の公式」で,カルダノの問題を解いてみよう!①
8 「解の公式」で,カルダノの問題を解いてみよう!②
9 「解の公式」で,カルダノの問題を解いてみよう!③
Q 答が虚数の方程式
A 答は虚数?
10 デカルトは,虚数を「想像上の数」とよんだ
11 ウォリスは,負の面積を使って虚数を正当化しようとした
12 オイラーは,虚数をあらわす記号に「i」を使った!
4コマ 約束をやぶったカルダノ
4コマ 虚数は現代生活に欠かせない
2.虚数の“姿”をとらえる
1 マイナスの数を数直線で可視化する
2 空虚数は,数直線の外にあらわれる
3 実数と虚数がまざり合った複素数
コラム 複素数は,虚数なの?
4 矢印を使って,「実数」の足し算を考えよう
5 矢印を使って,「複素数」の足し算を考えよう
コラム マウスの単位は「ミッキー」
3.回転と拡大で複素数を計算!
1 マイナスのかけ算は,複素平面上の点を180度回転させる
2 虚数「i」のかけ算は,数直線上の点を90度回転させる
3 複素数にiをかけ算してみよう
4 複素数どうしをかけ算してみよう
5 「3+2i」をかけ算すると,北斗七星が回転して拡大される
コラム 北斗七星は皇帝の車だった?
6 「カルダノの問題」を,複素平面で確認しよう①
7 「カルダノの問題」を,複素平面で確認しよう②
コラム 博士!教えて!!虚数に大小はあるの?
コラム ガウス平面の発見者
9 「複素平面」を使って,お宝をさがしだそう
10 「複素平面」を使って,お宝をさがしだそうStep1
11 「複素平面」を使って,お宝をさがしだそうStep2
12 「複素平面」を使って,お宝をさがしだそうStep3
Q ボタンはどこ?
A 無事に脱出!
4コマ 第二の虚数ってないの？
4コマ 才能あふれるガウス
4コマ 星の出現を計算
4.現代科学と虚数
1 極小世界を探求する物理学「量子力学」
2 虚数なしには,電子のふるまいが説明できない
3 宇宙のはじまりは,物理法則が成り立たない?
4 宇宙誕生時,虚数時間が流れていたかもしれない
5 虚数時間で,宇宙のはじまりは“なめらか”になる
6 虚数と波を結びつける「オイラーの公式」
7 波や波動の解析には,オイラーの公式が欠かせない
8 世界一美しい数式「オイラーの等式」
コラム 博士!教えて!!虚数が,自然界に関わるのはなぜ?
4コマ シュレーディンガーの子
4コマ シュレーディンガーの猫
