リーマン予想を解こう ~新ゼータと因数分解からのアプローチ~ (知の扉)

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リーマン予想を解く練習場

リーマン予想とは、1859年にリーマンが提出してから150年以上解けておらず、数学七大問題の一つとして1億円の賞金がかけられている数学最大の難問です。本書では、リーマン予想に関する現在までの研究をわかりやすく解説し、中学生や高校生くらいの年代の人がリーマン予想を解けるように成長することを目標にしています。

黒川 信重 (著)
出版社 : 技術評論社 (2014/2/18)、出典:出版社HP

巻頭図説 3分でつかむ リーマン予想が解けなかった3つの理由

リーマン予想はなぜ未解決問題なのか
(1)リーマン予想が「ゼータのわかりやすい因数分解を求めること」であることが理解されていなかった。▶︎対策:第1章
(2)ゼータの零点の練習が十分でなかった。▶︎対策:第2章、第5章、第7章、第8章
(3)解決に必要な視点の変換ができなかった。▶︎対策:第10章

今年がリーマン予想の研究開始にふさわしい3つの理由
(1)リーマン予想の研究は、1914年のハーディ論文とボーアランダウ論文で本格化した。今年はちょうど100周年。(参照▶︎第3章)
(2)絶対ゼータ・数力が準備できた。(参照▶︎第4章)
(3)ゼータの量子化・古典化がわかってきた。(参照▶︎第6章、第9章)

リーマン予想の年表

本書のスローガン

本書の読み方
本書はリーマン予想解決練習場です。
各章の関係は次の図のようになっています。

上部の空中から1章、2章、3章という第I部「リーマン予想研究」に降りて、4章、5章、6章という第II部「数力研究」に進み、7章、8章、9章、10章という第III部「ゼータ研究」に至ります。これですっかり、あなたも専門家です。リーマン予想を解いてください。

黒川 信重 (著)
出版社 : 技術評論社 (2014/2/18)、出典:出版社HP

はじめに

目次

はじめに

第I部 リーマン予想研究

第1章 リーマン予想と因数分解:零点って何?
1.1 分解すること
1.2 リーマン予想
1.3 簡単なゼータ:数力
1.4 零点と因数分解
1.5 一般的なリーマン予想

第2章 リーマン予想を解析接続:零点ほしい
2.1 解析接続とは
2.2 解析接続の例
2.3 リーマンゼータの解析接続
2.4 三角数ゼータの解析接続
2.5 変化させてみよう

第3章 リーマン予想の解き方:零点をさがそう
3.1 リーマン予想の簡単な歴史
3.2 リーマン予想について知られていること
3.3 リーマン予想の解き方3通り
3.4 合同ゼータと絶対ゼータ
3.5 リーマン予想の証明法(A):絶対ゼータ・数力
3.6 リーマン予想の証明法(B):合同ゼータ
3.7 リーマン予想の証明法(C):深リーマン予想

第II部 数力研究

第4章 数力:新世紀ゼータ
4.1 数力
4.2 数力の例
4.3 関数等式の証明
4.4 a=(ω,…,ω)の場合
4.5 a=(al,a2,a3)の場合
4.6 p-数力

第5章 逆数力:反対に見たら
5.1 リーマン予想と逆関数
5.2 根を求めること
5.3 逆関数と逆写像
5.4 逆数力

第6章 古典化:絶対ゼータ
6.1 問題
6.2 問題攻略
6.3 問題の核心:古典化
6.4 解決編
6.5 発展

第II部 ゼータ研究

第7章 整数零点の規則:どんどんふやそう
7.1 問題:整数零点
7.2 問題攻略
7.3 問題設定
7.4 問題の核心:多項式版
7.5 解決編

第8章 虚の零点に挑もう:こわくない虚数
8.1 問題
8.2 問題攻略
8.3 問題の核心:オイラー積
8.4 問題解決
8.5 発展

第9章 量子化で考える:q類似
9.1 考える問題:q-完全数
9.2 問題の変形:水晶完全数
9.3 問題の核心−qを求めること−
9.4 問題の解決:どんなものも完全

第10章 逆転しよう:ひっくりかえすと楽しい
10.1 問題:逆転
10.2 問題攻略
10.3 問題の解決:L関数による表示
10.4 別の解決:オイラー数

付録 数学研究法
あとがき
索引

黒川 信重 (著)
出版社 : 技術評論社 (2014/2/18)、出典:出版社HP